Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x*(tres +x))-sqrt(x*(- tres +x))
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (3 más x)) menos raíz cuadrada de (x multiplicar por ( menos 3 más x))
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (tres más x)) menos raíz cuadrada de (x multiplicar por ( menos tres más x))
- √(x*(3+x))-√(x*(-3+x))
- sqrt(x(3+x))-sqrt(x(-3+x))
- sqrtx3+x-sqrtx-3+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x*(3+x))-sqrt(x*(-3-x))
- sqrt(x*(3+x))-sqrt(x*(3+x))
- sqrt(x*(3-x))-sqrt(x*(-3+x))
- sqrt(x*(3+x))+sqrt(x*(-3+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n^2+2*n)-n
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n^2+2*n)-n
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
Límite de la función sqrt(x*(3+x))-sqrt(x*(-3+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________ ____________\ lim \\/ x*(3 + x) - \/ x*(-3 + x) / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)$$
Limit(sqrt(x*(3 + x)) - sqrt(x*(-3 + x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) \left(\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x \left(x - 3\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)^{2}}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \left(x - 3\right) + x \left(x + 3\right)}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \left(x - 3\right) + x \left(x + 3\right)}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{\frac{x - 3}{x}} + \sqrt{\frac{x + 3}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - 3 u} + \sqrt{3 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{6}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0 \cdot 3 + 1}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) \left(\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x \left(x - 3\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 3\right)}\right)^{2}}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \left(x - 3\right) + x \left(x + 3\right)}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \left(x - 3\right) + x \left(x + 3\right)}{\sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{\frac{x - 3}{x}} + \sqrt{\frac{x + 3}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - 3 u} + \sqrt{3 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{6}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0 \cdot 3 + 1}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 2 - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 2 - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 2 - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = 2 - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x \left(x - 3\right)} + \sqrt{x \left(x + 3\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo