Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x x^{\frac{1}{n}} \log{\left(x \right)} - x\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\log{\left(x \right)}} + x^{1 + \frac{1}{n}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + x^{\frac{n + 1}{n}} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x x^{\frac{1}{n}} \log{\left(x \right)} - x\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x^{\frac{1}{n}} \log{\left(x \right)} + x^{\frac{1}{n}} - 1 + \frac{x^{\frac{1}{n}} \log{\left(x \right)}}{n}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x^{\frac{1}{n}} \log{\left(x \right)} + x^{\frac{1}{n}} - 1 + \frac{x^{\frac{1}{n}} \log{\left(x \right)}}{n}\right)\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)