Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro +x^ dos)/(cinco +x^ dos))^(- tres *x^ dos)
- ((4 más x al cuadrado ) dividir por (5 más x al cuadrado )) en el grado ( menos 3 multiplicar por x al cuadrado )
- ((cuatro más x en el grado dos) dividir por (cinco más x en el grado dos)) en el grado ( menos tres multiplicar por x en el grado dos)
- ((4+x2)/(5+x2))(-3*x2)
- 4+x2/5+x2-3*x2
- ((4+x²)/(5+x²))^(-3*x²)
- ((4+x en el grado 2)/(5+x en el grado 2)) en el grado (-3*x en el grado 2)
- ((4+x^2)/(5+x^2))^(-3x^2)
- ((4+x2)/(5+x2))(-3x2)
- 4+x2/5+x2-3x2
- 4+x^2/5+x^2^-3x^2
- ((4+x^2) dividir por (5+x^2))^(-3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((4+x^2)/(5-x^2))^(-3*x^2)
- ((4+x^2)/(5+x^2))^(3*x^2)
- ((4-x^2)/(5+x^2))^(-3*x^2)
Límite de la función ((4+x^2)/(5+x^2))^(-3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
-3*x
/ 2\
|4 + x |
lim |------|
x->oo| 2|
\5 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
Limit(((4 + x^2)/(5 + x^2))^(-3*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 5\right) - 1}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x^{2} + 5} + \frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u + 15}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 5\right) - 1}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x^{2} + 5} + \frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u + 15}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = e^{3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = \frac{216}{125}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = \frac{216}{125}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = \frac{216}{125}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = \frac{216}{125}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 5}\right)^{- 3 x^{2}} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico