Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x + 1} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x + 1} x^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{x + 1}}{\frac{d}{d x} x^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 2^{x} x^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 2^{x} x^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)