Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+3*x))/(sqrt(x)-sqrt(2))
-
Límite de (-6-7*x+3*x^2)/(3-7*x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- log(uno + dos ^x)/log(uno + tres ^x)
- logaritmo de (1 más 2 en el grado x) dividir por logaritmo de (1 más 3 en el grado x)
- logaritmo de (uno más dos en el grado x) dividir por logaritmo de (uno más tres en el grado x)
- log(1+2x)/log(1+3x)
- log1+2x/log1+3x
- log1+2^x/log1+3^x
- log(1+2^x) dividir por log(1+3^x)
-
Expresiones semejantes
- log(1-2^x)/log(1+3^x)
- log(1+2^x)/log(1-3^x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+1/sqrt(x))
- log(-2+x^2-2*x)/atan(-1+x)^3
- log(e^n*n^(n^2)*(1+n)^(-n-n^2)*(3+n)^n)
- log((1-cos(x))/sin(x))
- log(cos(x))/x^3
- Logaritmo log
- log(1+1/sqrt(x))
- log(-2+x^2-2*x)/atan(-1+x)^3
- log(e^n*n^(n^2)*(1+n)^(-n-n^2)*(3+n)^n)
- log((1-cos(x))/sin(x))
- log(cos(x))/x^3
Límite de la función log(1+2^x)/log(1+3^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x\\
|log\1 + 2 /|
lim |-----------|
x->oo| / x\|
\log\1 + 3 //
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right)$$
Limit(log(1 + 2^x)/log(1 + 3^x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(3^{x} + 1 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} 3^{- x} \left(3^{x} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2^{x} 3^{- x} \left(3^{x} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(- 2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{3^{- x} 6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(- 2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{3^{- x} 6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(3^{x} + 1 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} 3^{- x} \left(3^{x} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2^{x} 3^{- x} \left(3^{x} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(- 2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{3^{- x} 6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(- 2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{3^{- x} 6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(3^{x} + 1 \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo