Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (1+1/(7*x))^(4*x)
-
Expresiones idénticas
- log(uno + dos ^x)/log(uno - tres ^x)
- logaritmo de (1 más 2 en el grado x) dividir por logaritmo de (1 menos 3 en el grado x)
- logaritmo de (uno más dos en el grado x) dividir por logaritmo de (uno menos tres en el grado x)
- log(1+2x)/log(1-3x)
- log1+2x/log1-3x
- log1+2^x/log1-3^x
- log(1+2^x) dividir por log(1-3^x)
-
Expresiones semejantes
- log(1+2^x)/log(1+3^x)
- log(1-2^x)/log(1-3^x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sin(x))/log(x)
- log(tan(x+pi/4))/sin(3*x)
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(sin(x))*sin(x)
- log(3+x^2)/x
- Logaritmo log
- log(sin(x))/log(x)
- log(tan(x+pi/4))/sin(3*x)
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(sin(x))*sin(x)
- log(3+x^2)/x
Límite de la función log(1+2^x)/log(1-3^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x\\
|log\1 + 2 /|
lim |-----------|
x->-oo| / x\|
\log\1 - 3 //
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right)$$
Limit(log(1 + 2^x)/log(1 - 3^x), x, -oo)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}} = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2^{- x} 3^{x} \left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}{\left(1 - 3^{x}\right) \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2^{- x} 3^{x} \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(1 - 3^{x}\right) \left(\frac{2 \cdot 2^{2 x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{3}} - \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right) \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(\frac{2 \cdot 2^{2 x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{3}} - \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right) \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(\frac{2 \cdot 2^{2 x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{3}} - \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right) \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{3}}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}} = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2^{- x} 3^{x} \left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}{\left(1 - 3^{x}\right) \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2^{- x} 3^{x} \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(1 - 3^{x}\right) \left(\frac{2 \cdot 2^{2 x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{3}} - \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right) \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(\frac{2 \cdot 2^{2 x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{3}} - \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right) \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\left(\frac{2 \cdot 2^{2 x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{3}} - \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}} + \frac{2^{x} 3^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right) \log{\left(1 - 3^{x} \right)}^{3}}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(1 - 3^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
Gráfico