Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2}{\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}} - \frac{2}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x - \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} + 1}}{\frac{x}{2 \left(\left(x - 1\right)^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2 \left(\left(x - 1\right)^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} + 1}}{\frac{x}{2 \left(\left(x - 1\right)^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2 \left(\left(x - 1\right)^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)