Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
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Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(tres +x))^(tres + dos *x)
- ((2 más x) dividir por (3 más x)) en el grado (3 más 2 multiplicar por x)
- ((dos más x) dividir por (tres más x)) en el grado (tres más dos multiplicar por x)
- ((2+x)/(3+x))(3+2*x)
- 2+x/3+x3+2*x
- ((2+x)/(3+x))^(3+2x)
- ((2+x)/(3+x))(3+2x)
- 2+x/3+x3+2x
- 2+x/3+x^3+2x
- ((2+x) dividir por (3+x))^(3+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(3+x))^(3-2*x)
- ((2-x)/(3+x))^(3+2*x)
- ((2+x)/(3-x))^(3+2*x)
Límite de la función ((2+x)/(3+x))^(3+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + 2*x
/2 + x\
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
Limit(((2 + x)/(3 + x))^(3 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{2 x + 3} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{2 x + 3} = e^{-2}$$
Gráfica
Gráfico