Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (x+ dos *x^ tres + tres *x^ dos)/(cuatro +x^ dos)
- (x más 2 multiplicar por x al cubo más 3 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (4 más x al cuadrado )
- (x más dos multiplicar por x en el grado tres más tres multiplicar por x en el grado dos) dividir por (cuatro más x en el grado dos)
- (x+2*x3+3*x2)/(4+x2)
- x+2*x3+3*x2/4+x2
- (x+2*x³+3*x²)/(4+x²)
- (x+2*x en el grado 3+3*x en el grado 2)/(4+x en el grado 2)
- (x+2x^3+3x^2)/(4+x^2)
- (x+2x3+3x2)/(4+x2)
- x+2x3+3x2/4+x2
- x+2x^3+3x^2/4+x^2
- (x+2*x^3+3*x^2) dividir por (4+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x+2*x^3+3*x^2)/(4-x^2)
- (x+2*x^3-3*x^2)/(4+x^2)
- (x-2*x^3+3*x^2)/(4+x^2)
Límite de la función (x+2*x^3+3*x^2)/(4+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 2\
|x + 2*x + 3*x |
lim |---------------|
x->oo| 2 |
\ 4 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right)$$
Limit((x + 2*x^3 + 3*x^2)/(4 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 3 u + 2}{4 u^{3} + u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 3 + 2}{4 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 3 u + 2}{4 u^{3} + u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 3 + 2}{4 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 3 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 x^{2} + 3 x + 1\right)}{x^{2} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + \frac{4}{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 3}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 3}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 3 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 x^{2} + 3 x + 1\right)}{x^{2} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + \frac{4}{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 3}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 3}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = \frac{6}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = \frac{6}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = \frac{6}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = \frac{6}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x^{3} + x\right)}{x^{2} + 4}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico