Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(4^{x} + 1 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(4^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(2^{x} + 1 \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(4^{x} + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} 4^{- x} \left(4^{x} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \log{\left(4^{x} + 1 \right)}^{2}}{\left(2^{x} + 1\right) \log{\left(4 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} 4^{- x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4^{x} + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(4 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} 4^{- x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4^{x} + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(4 \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)