Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-3+sqrt(7+x))/(1-sqrt(3-x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- uno +sqrt(x*(uno +x))/x
- 1 más raíz cuadrada de (x multiplicar por (1 más x)) dividir por x
- uno más raíz cuadrada de (x multiplicar por (uno más x)) dividir por x
- 1+√(x*(1+x))/x
- 1+sqrt(x(1+x))/x
- 1+sqrtx1+x/x
- 1+sqrt(x*(1+x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- 1+sqrt(x*(1-x))/x
- 1-sqrt(x*(1+x))/x
- (-1+sqrt(x)*(1+x))/x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(n^2+3*n)-n
- sqrt(n)/(1+n)
- sqrt(16+4*x)/(sqrt(2+9*x)-sqrt(-4+16*x))
- sqrt(x^2+3*x)-sqrt(x+x^2)
Límite de la función 1+sqrt(x*(1+x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________\
| \/ x*(1 + x) |
lim |1 + -------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right)$$
Limit(1 + sqrt(x*(1 + x))/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x^{2} + x}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x^{2} + x}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo