Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2}{0^{2} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2*x \
lim |------|
x->0+| 2|
\1 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)$$
$$0$$
/ 2*x \
lim |------|
x->0-| 2|
\1 + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)$$
$$0$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1