Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (- dos +(- uno +x^ dos)/log(x))/(- uno +x)
- ( menos 2 más ( menos 1 más x al cuadrado ) dividir por logaritmo de (x)) dividir por ( menos 1 más x)
- ( menos dos más ( menos uno más x en el grado dos) dividir por logaritmo de (x)) dividir por ( menos uno más x)
- (-2+(-1+x2)/log(x))/(-1+x)
- -2+-1+x2/logx/-1+x
- (-2+(-1+x²)/log(x))/(-1+x)
- (-2+(-1+x en el grado 2)/log(x))/(-1+x)
- -2+-1+x^2/logx/-1+x
- (-2+(-1+x^2) dividir por log(x)) dividir por (-1+x)
-
Expresiones semejantes
- (-2+(-1+x^2)/log(x))/(1+x)
- (-2+(1+x^2)/log(x))/(-1+x)
- (-2-(-1+x^2)/log(x))/(-1+x)
- (-2+(-1-x^2)/log(x))/(-1+x)
- (2+(-1+x^2)/log(x))/(-1+x)
- (-2+(-1+x^2)/log(x))/(-1-x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)/(1-x^2)
- log(sin(x))
- log(1-x)/x
- log(-2+x)
- log(2+x)
Límite de la función (-2+(-1+x^2)/log(x))/(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
| -1 + x |
|-2 + -------|
| log(x)|
lim |------------|
x->1+\ -1 + x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right)$$
Limit((-2 + (-1 + x^2)/log(x))/(-1 + x), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1}{\left(x - 1\right) \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x \log{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x - \frac{2}{x}}{\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x - \frac{2}{x}}{\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1}{\left(x - 1\right) \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x \log{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x - \frac{2}{x}}{\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x - \frac{2}{x}}{\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2\
| -1 + x |
|-2 + -------|
| log(x)|
lim |------------|
x->1+\ -1 + x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right)$$
2
$$2$$
= 2
/ 2\
| -1 + x |
|-2 + -------|
| log(x)|
lim |------------|
x->1-\ -1 + x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right)$$
2
$$2$$
= 2
= 2
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{2} - 1}{\log{\left(x \right)}} - 2}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo