Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(4*x))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Límite de (1-x^4+4*x)/(x+2*x^4+3*x^2)
-
Límite de x^(5/x)
-
Límite de (-4+x)*(-log(5-3*x)+log(2-3*x))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(- dos +x^ dos + cuatro *x)-x
- raíz cuadrada de ( menos 2 más x al cuadrado más 4 multiplicar por x) menos x
- raíz cuadrada de ( menos dos más x en el grado dos más cuatro multiplicar por x) menos x
- √(-2+x^2+4*x)-x
- sqrt(-2+x2+4*x)-x
- sqrt-2+x2+4*x-x
- sqrt(-2+x²+4*x)-x
- sqrt(-2+x en el grado 2+4*x)-x
- sqrt(-2+x^2+4x)-x
- sqrt(-2+x2+4x)-x
- sqrt-2+x2+4x-x
- sqrt-2+x^2+4x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(2+x^2+4*x)-x
- sqrt(-2+x^2-4*x)-x
- sqrt(-2+x^2+4*x)+x
- sqrt(-2-x^2+4*x)-x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(9+1/x)
- sqrt(sqrt(x)+x^30+38*x^6)
- sqrt(1+x^3)-sqrt(-1+x^3)
- sqrt((-3+x)/x)
- sqrt(32+x^2+3*x)-sqrt(33+x^2+2*x)/(-1+x)
Límite de la función sqrt(-2+x^2+4*x)-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______________ \
| / 2 |
lim \\/ -2 + x + 4*x - x/
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
Limit(sqrt(-2 + x^2 + 4*x) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) \left(x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 2}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 2}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{\sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 - 2 u}{\sqrt{- 2 u^{2} + 4 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{4 - 0}{1 + \sqrt{- 2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) \left(x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 2}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 2}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{\sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 - 2 u}{\sqrt{- 2 u^{2} + 4 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{4 - 0}{1 + \sqrt{- 2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo