Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{6 - x} - \sqrt{x + 6}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sqrt{6 - x} - \sqrt{x + 6}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sqrt{6 - x} - \sqrt{x + 6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 6 x}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{6 - x} - \sqrt{x + 6}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 6}} - \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 6}} - \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}\right)$$
=
$$- 6 \sqrt{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)