Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{6 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}{e^{6 x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}{e^{6 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{6 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{6 x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{9 x^{2} + 1} + \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}\right) e^{- 6 x}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{9 x^{2} + 1} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{9 x^{2} + 1} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}{6}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)