Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(6 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 x}{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(6 x \right)}}{7 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(6 x \right)}\right)}{7 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(6 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{7 x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)}}{7} - \frac{18 \cos{\left(6 x \right)}}{7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)}}{7} - \frac{18 \cos{\left(6 x \right)}}{7}\right)$$
=
$$- \frac{15}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)