Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres / dos +sqrt(uno +x^ cuatro)/ dos)/x^ dos
- (x al cubo dividir por 2 más raíz cuadrada de (1 más x en el grado 4) dividir por 2) dividir por x al cuadrado
- (x en el grado tres dividir por dos más raíz cuadrada de (uno más x en el grado cuatro) dividir por dos) dividir por x en el grado dos
- (x^3/2+√(1+x^4)/2)/x^2
- (x3/2+sqrt(1+x4)/2)/x2
- x3/2+sqrt1+x4/2/x2
- (x³/2+sqrt(1+x⁴)/2)/x²
- (x en el grado 3/2+sqrt(1+x en el grado 4)/2)/x en el grado 2
- x^3/2+sqrt1+x^4/2/x^2
- (x^3 dividir por 2+sqrt(1+x^4) dividir por 2) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (x^3/2-sqrt(1+x^4)/2)/x^2
- (x^3/2+sqrt(1-x^4)/2)/x^2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt(4+x^2)-10*x
- sqrt(-3+x)/(sqrt(x)-sqrt(3))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(2+x^2)
- sqrt(-4+x^2)/(-2+x)
Límite de la función (x^3/2+sqrt(1+x^4)/2)/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________\
| 3 / 4 |
|x \/ 1 + x |
|-- + -----------|
|2 2 |
lim |----------------|
x->oo| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right)$$
Limit((x^3/2 + sqrt(1 + x^4)/2)/x^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \sqrt{x^{4} + 1}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \sqrt{x^{4} + 1}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + \sqrt{x^{4} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} + 3 x^{2}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} + 3 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{6}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 1} + \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{6}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 1} + \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \sqrt{x^{4} + 1}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \sqrt{x^{4} + 1}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + \sqrt{x^{4} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} + 3 x^{2}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} + 3 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{6}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 1} + \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{6}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 1} + \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{4} + 1}} + \frac{3 x}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{2}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo