Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sin(cuatro *x)/sin(x)
- seno de (4 multiplicar por x) dividir por seno de (x)
- seno de (cuatro multiplicar por x) dividir por seno de (x)
- sin(4x)/sin(x)
- sin4x/sinx
- sin(4*x) dividir por sin(x)
-
Expresiones semejantes
- (-sin(2*x)+sin(4*x))/sin(x)
- (-7*x^4+3*x^2+sin(4*x))/sin(x)
- sin(4*x)/sinx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(3*x)/(2*x)
- sin(3*x)/sin(5*x)
- sin(x)/x^2
- sin(3*x)/(5*x)
- sin(4*x)/tan(2*x)
- Seno sin
- sin(3*x)/(2*x)
- sin(3*x)/sin(5*x)
- sin(x)/x^2
- sin(3*x)/(5*x)
- sin(4*x)/tan(2*x)
Límite de la función sin(4*x)/sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(4*x)\ lim |--------| x->0+\ sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Limit(sin(4*x)/sin(x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 4 x$$
y
$$v = x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$4 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
=
$$4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 4 x$$
y
$$v = x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$4 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
=
$$4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(4*x)\ lim |--------| x->0+\ sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
/sin(4*x)\ lim |--------| x->0-\ sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
= 4.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico