Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco +x^ dos)/(tres +x^ dos))^(x^ dos)
- ((5 más x al cuadrado ) dividir por (3 más x al cuadrado )) en el grado (x al cuadrado )
- ((cinco más x en el grado dos) dividir por (tres más x en el grado dos)) en el grado (x en el grado dos)
- ((5+x2)/(3+x2))(x2)
- 5+x2/3+x2x2
- ((5+x²)/(3+x²))^(x²)
- ((5+x en el grado 2)/(3+x en el grado 2)) en el grado (x en el grado 2)
- 5+x^2/3+x^2^x^2
- ((5+x^2) dividir por (3+x^2))^(x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((5-x^2)/(3+x^2))^(x^2)
- ((5+x^2)/(3-x^2))^(x^2)
Límite de la función ((5+x^2)/(3+x^2))^(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\x /
/ 2\
|5 + x |
lim |------|
x->oo| 2|
\3 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
Limit(((5 + x^2)/(3 + x^2))^(x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) + 2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 3} + \frac{2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 3}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) + 2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 3} + \frac{2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 3}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico