Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (-x^2+2*x)/(5+3*x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /   2      \
     |- x  + 2*x|
 lim |----------|
x->oo\ 5 + 3*x  /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right)$$
Limit((-x^2 + 2*x)/(5 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{2}{x}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{2}{x}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u - 1}{5 u^{2} + 3 u}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 0 \cdot 2}{0 \cdot 3 + 5 \cdot 0^{2}} = -\infty$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right) = -\infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 - x\right)\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 - x\right)}{3 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(2 - x\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{3} - \frac{2 x}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{3} - \frac{2 x}{3}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
-oo
$$-\infty$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 5}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo