Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (- dos +x^ dos)/(dos +x^ cuatro - tres *x^ dos)
- ( menos 2 más x al cuadrado ) dividir por (2 más x en el grado 4 menos 3 multiplicar por x al cuadrado )
- ( menos dos más x en el grado dos) dividir por (dos más x en el grado cuatro menos tres multiplicar por x en el grado dos)
- (-2+x2)/(2+x4-3*x2)
- -2+x2/2+x4-3*x2
- (-2+x²)/(2+x⁴-3*x²)
- (-2+x en el grado 2)/(2+x en el grado 4-3*x en el grado 2)
- (-2+x^2)/(2+x^4-3x^2)
- (-2+x2)/(2+x4-3x2)
- -2+x2/2+x4-3x2
- -2+x^2/2+x^4-3x^2
- (-2+x^2) dividir por (2+x^4-3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2+x^2)/(2+x^4-3*x^2)
- (-2+x^2)/(2+x^4+3*x^2)
- (-2+x^2)/(2-x^4-3*x^2)
- (-2-x^2)/(2+x^4-3*x^2)
Límite de la función (-2+x^2)/(2+x^4-3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -2 + x |
lim |-------------|
___ | 4 2|
x->\/ 2 +\2 + x - 3*x /
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
Limit((-2 + x^2)/(2 + x^4 - 3*x^2), x, sqrt(2))
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+} \frac{1}{x^{2} - 1} = $$
$$\frac{1}{-1 + \left(\sqrt{2}\right)^{2}} = $$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+} \frac{1}{x^{2} - 1} = $$
$$\frac{1}{-1 + \left(\sqrt{2}\right)^{2}} = $$
= 1
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(x^{2} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(x^{4} - 3 x^{2} + 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{x^{4} - 3 x^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 3 x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{2 x}{4 x^{3} - 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{4 x^{3} - 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{4 x^{3} - 6 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(x^{2} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(x^{4} - 3 x^{2} + 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{x^{4} - 3 x^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 3 x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{2 x}{4 x^{3} - 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{4 x^{3} - 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{4 x^{3} - 6 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -2 + x |
lim |-------------|
___ | 4 2|
x->\/ 2 +\2 + x - 3*x /
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
/ 2 \
| -2 + x |
lim |-------------|
___ | 4 2|
x->\/ 2 -\2 + x - 3*x /
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^-}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^-}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→sqrt(2) a la izquierda
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→sqrt(2) a la izquierda
$$\lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{- 3 x^{2} + \left(x^{4} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo