Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(1+2*x)-sqrt(6+x))/(-15-7*x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(ochenta y uno +x^ dos)- nueve /x^ dos
- raíz cuadrada de (81 más x al cuadrado ) menos 9 dividir por x al cuadrado
- raíz cuadrada de (ochenta y uno más x en el grado dos) menos nueve dividir por x en el grado dos
- √(81+x^2)-9/x^2
- sqrt(81+x2)-9/x2
- sqrt81+x2-9/x2
- sqrt(81+x²)-9/x²
- sqrt(81+x en el grado 2)-9/x en el grado 2
- sqrt81+x^2-9/x^2
- sqrt(81+x^2)-9 dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(81-x^2)-9/x^2
- sqrt(81+x^2)+9/x^2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+x^2+5*x)-sqrt(x+x^2)
- sqrt(x)-x
- sqrt(x*(5+x))-x
- sqrt(x)*(sqrt(x)-sqrt(-2+x))
- sqrt(-3+x)-sqrt(2+x)
Límite de la función sqrt(81+x^2)-9/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________ \
| / 2 9 |
lim |\/ 81 + x - --|
x->oo| 2|
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right)$$
Limit(sqrt(81 + x^2) - 9/x^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} - 9}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} - 9\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 81}} + 2 x \sqrt{x^{2} + 81}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 81}} + 2 x \sqrt{x^{2} + 81}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{2 \left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} + 81 \sqrt{x^{2} + 81}\right)} + \frac{5 x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} + 81}} + \sqrt{x^{2} + 81}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{2 \left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} + 81 \sqrt{x^{2} + 81}\right)} + \frac{5 x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} + 81}} + \sqrt{x^{2} + 81}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} - 9}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} - 9\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 81}} + 2 x \sqrt{x^{2} + 81}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 81}} + 2 x \sqrt{x^{2} + 81}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{2 \left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} + 81 \sqrt{x^{2} + 81}\right)} + \frac{5 x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} + 81}} + \sqrt{x^{2} + 81}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{2 \left(x^{2} \sqrt{x^{2} + 81} + 81 \sqrt{x^{2} + 81}\right)} + \frac{5 x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} + 81}} + \sqrt{x^{2} + 81}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -9 + \sqrt{82}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -9 + \sqrt{82}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -9 + \sqrt{82}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = -9 + \sqrt{82}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 81} - \frac{9}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo