Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (dos +x^ dos + tres *x)/(uno -x^ dos)
- (2 más x al cuadrado más 3 multiplicar por x) dividir por (1 menos x al cuadrado )
- (dos más x en el grado dos más tres multiplicar por x) dividir por (uno menos x en el grado dos)
- (2+x2+3*x)/(1-x2)
- 2+x2+3*x/1-x2
- (2+x²+3*x)/(1-x²)
- (2+x en el grado 2+3*x)/(1-x en el grado 2)
- (2+x^2+3x)/(1-x^2)
- (2+x2+3x)/(1-x2)
- 2+x2+3x/1-x2
- 2+x^2+3x/1-x^2
- (2+x^2+3*x) dividir por (1-x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2-x^2+3*x)/(1-x^2)
- (2+x^2-3*x)/(1-x^2)
- (2+x^2+3*x)/(1+x^2)
Límite de la función (2+x^2+3*x)/(1-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|2 + x + 3*x|
lim |------------|
x->-1+| 2 |
\ 1 - x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
Limit((2 + x^2 + 3*x)/(1 - x^2), x, -1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(-1\right) \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x + 2}{x - 1}\right) = $$
$$- \frac{-1 + 2}{-1 - 1} = $$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(-1\right) \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x + 2}{x - 1}\right) = $$
$$- \frac{-1 + 2}{-1 - 1} = $$
= 1/2
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} + 3 x + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(1 - x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x + 2}{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 x + 3}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} + 3 x + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(1 - x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x + 2}{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 x + 3}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|2 + x + 3*x|
lim |------------|
x->-1+| 2 |
\ 1 - x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ 2 \
|2 + x + 3*x|
lim |------------|
x->-1-| 2 |
\ 1 - x /
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{1 - x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico