Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^ dos + dos *x)/(- uno +x^ cuatro)
- (1 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más x en el grado 4)
- (uno más x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por ( menos uno más x en el grado cuatro)
- (1+x2+2*x)/(-1+x4)
- 1+x2+2*x/-1+x4
- (1+x²+2*x)/(-1+x⁴)
- (1+x en el grado 2+2*x)/(-1+x en el grado 4)
- (1+x^2+2x)/(-1+x^4)
- (1+x2+2x)/(-1+x4)
- 1+x2+2x/-1+x4
- 1+x^2+2x/-1+x^4
- (1+x^2+2*x) dividir por (-1+x^4)
-
Expresiones semejantes
- (1+x^2+2*x)/(-1-x^4)
- (1+x^2-2*x)/(-1+x^4)
- (1-x^2+2*x)/(-1+x^4)
- (1+x^2+2*x)/(1+x^4)
Límite de la función (1+x^2+2*x)/(-1+x^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|1 + x + 2*x|
lim |------------|
x->-1+| 4 |
\ -1 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
Limit((1 + x^2 + 2*x)/(-1 + x^4), x, -1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + 1}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = $$
$$\frac{-1 + 1}{\left(-1 - 1\right) \left(1 + \left(-1\right)^{2}\right)} = $$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + 1}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = $$
$$\frac{-1 + 1}{\left(-1 - 1\right) \left(1 + \left(-1\right)^{2}\right)} = $$
= 0
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{4} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{4} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + 2}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{4} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{4} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + 2}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|1 + x + 2*x|
lim |------------|
x->-1+| 4 |
\ -1 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
0
$$0$$
= 1.595786904787e-35
/ 2 \
|1 + x + 2*x|
lim |------------|
x->-1-| 4 |
\ -1 + x /
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)$$
0
$$0$$
= -6.58420492513166e-31
= -6.58420492513166e-31
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico