Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- uno +x^ dos /(tres +x)^ cuatro
- 1 más x al cuadrado dividir por (3 más x) en el grado 4
- uno más x en el grado dos dividir por (tres más x) en el grado cuatro
- 1+x2/(3+x)4
- 1+x2/3+x4
- 1+x²/(3+x)⁴
- 1+x en el grado 2/(3+x) en el grado 4
- 1+x^2/3+x^4
- 1+x^2 dividir por (3+x)^4
-
Expresiones semejantes
- 1-x^2/(3+x)^4
- 1+x^2/(3-x)^4
Límite de la función 1+x^2/(3+x)^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x |
lim |1 + --------|
x->oo| 4|
\ (3 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right)$$
Limit(1 + x^2/(3 + x)^4, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 12 x^{3} + 55 x^{2} + 108 x + 81\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 3\right)^{4}}{\left(x + 3\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 12 x^{3} + 55 x^{2} + 108 x + 81\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 36 x^{2} + 110 x + 108}{4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 36 x^{2} + 110 x + 108}{4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 12 x^{3} + 55 x^{2} + 108 x + 81\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 3\right)^{4}}{\left(x + 3\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 12 x^{3} + 55 x^{2} + 108 x + 81\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 36 x^{2} + 110 x + 108}{4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 36 x^{2} + 110 x + 108}{4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = \frac{257}{256}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = \frac{257}{256}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = \frac{257}{256}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = \frac{257}{256}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}} + 1\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo