Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/x
-
Límite de sin(x)/x
-
Límite de x*log(x)
-
Límite de (-1+x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)*sin(uno /x)
- seno de (x) multiplicar por seno de (1 dividir por x)
- seno de (x) multiplicar por seno de (uno dividir por x)
- sin(x)sin(1/x)
- sinxsin1/x
- sin(x)*sin(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- sinx*sin(1/x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/x
- sin(3*x)/x
- sin(1/x)
- sin(5*x)/(3*x)
- sin(5*x)/sin(3*x)
- Seno sin
- sin(x)/x
- sin(3*x)/x
- sin(1/x)
- sin(5*x)/(3*x)
- sin(5*x)/sin(3*x)
Límite de la función sin(x)*sin(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1\\ lim |sin(x)*sin|-|| x->oo\ \x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
Limit(sin(x)*sin(1/x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)\right)^{-1}$$
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
=
$$1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)\right)^{-1}$$
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
=
$$1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /1\\ lim |sin(x)*sin|-|| x->0+\ \x//
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
0
$$0$$
= 4.09264431981025e-21
/ /1\\ lim |sin(x)*sin|-|| x->0-\ \x//
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
0
$$0$$
= 4.09264431981025e-21
= 4.09264431981025e-21
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \sin^{2}{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico