Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de x/sin(14*x)
-
Expresiones idénticas
- (- seis +x+x^ dos)/(dos +x^ dos - tres *x)
- ( menos 6 más x más x al cuadrado ) dividir por (2 más x al cuadrado menos 3 multiplicar por x)
- ( menos seis más x más x en el grado dos) dividir por (dos más x en el grado dos menos tres multiplicar por x)
- (-6+x+x2)/(2+x2-3*x)
- -6+x+x2/2+x2-3*x
- (-6+x+x²)/(2+x²-3*x)
- (-6+x+x en el grado 2)/(2+x en el grado 2-3*x)
- (-6+x+x^2)/(2+x^2-3x)
- (-6+x+x2)/(2+x2-3x)
- -6+x+x2/2+x2-3x
- -6+x+x^2/2+x^2-3x
- (-6+x+x^2) dividir por (2+x^2-3*x)
-
Expresiones semejantes
- (-6+x+x^2)/(2-x^2-3*x)
- (-6+x+x^2)/(2+x^2+3*x)
- (6+x+x^2)/(2+x^2-3*x)
- (-6-x+x^2)/(2+x^2-3*x)
- (-6+x-x^2)/(2+x^2-3*x)
Límite de la función (-6+x+x^2)/(2+x^2-3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-6 + x + x |
lim |------------|
x->oo| 2 |
\2 + x - 3*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Limit((-6 + x + x^2)/(2 + x^2 - 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 6 u^{2} + u + 1}{2 u^{2} - 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 6 \cdot 0^{2}}{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 6 u^{2} + u + 1}{2 u^{2} - 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 6 \cdot 0^{2}}{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x - 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 3 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 3 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x - 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x - 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 3 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 3 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x - 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|-6 + x + x |
lim |------------|
x->2+| 2 |
\2 + x - 3*x/
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
5
$$5$$
= 5.0
/ 2 \
|-6 + x + x |
lim |------------|
x->2-| 2 |
\2 + x - 3*x/
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
5
$$5$$
= 5.0
= 5.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico