Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(\frac{1}{n + 1} \right)} = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(\frac{1}{n} \right)} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{n + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{n} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(\frac{1}{n + 1} \right)}}{\frac{d}{d n} \log{\left(\frac{1}{n} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)