Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + 7 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[7]{x - 3} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 7 \right)}}{\sqrt[7]{x - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 7 \right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt[7]{x - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 \left(x - 3\right)^{\frac{6}{7}}}{x + 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 7 \left(x - 3\right)^{\frac{6}{7}}}{\frac{d}{d x} \left(x + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt[7]{x - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt[7]{x - 3}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)