Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- dos +x+x^ dos)/(- tres +x^ dos + dos *x)
- ( menos 2 más x más x al cuadrado ) dividir por ( menos 3 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x)
- ( menos dos más x más x en el grado dos) dividir por ( menos tres más x en el grado dos más dos multiplicar por x)
- (-2+x+x2)/(-3+x2+2*x)
- -2+x+x2/-3+x2+2*x
- (-2+x+x²)/(-3+x²+2*x)
- (-2+x+x en el grado 2)/(-3+x en el grado 2+2*x)
- (-2+x+x^2)/(-3+x^2+2x)
- (-2+x+x2)/(-3+x2+2x)
- -2+x+x2/-3+x2+2x
- -2+x+x^2/-3+x^2+2x
- (-2+x+x^2) dividir por (-3+x^2+2*x)
-
Expresiones semejantes
- (-2+x-x^2)/(-3+x^2+2*x)
- (-2+x+x^2)/(3+x^2+2*x)
- (-2+x+x^2)/(-3+x^2-2*x)
- (-2-x+x^2)/(-3+x^2+2*x)
- (2+x+x^2)/(-3+x^2+2*x)
- (-2+x+x^2)/(-3-x^2+2*x)
Límite de la función (-2+x+x^2)/(-3+x^2+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -2 + x + x |
lim |-------------|
x->oo| 2 |
\-3 + x + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$
Limit((-2 + x + x^2)/(-3 + x^2 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 2 u^{2} + u + 1}{- 3 u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 2 \cdot 0^{2}}{- 3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 2 u^{2} + u + 1}{- 3 u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 2 \cdot 0^{2}}{- 3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x - 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x - 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -2 + x + x |
lim |-------------|
x->1+| 2 |
\-3 + x + 2*x/
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$
3/4
$$\frac{3}{4}$$
= 0.75
/ 2 \
| -2 + x + x |
lim |-------------|
x->1-| 2 |
\-3 + x + 2*x/
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 2\right)}{2 x + \left(x^{2} - 3\right)}\right)$$
3/4
$$\frac{3}{4}$$
= 0.75
= 0.75
Gráfico