Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 - x^{6}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \operatorname{asin}{\left(x - 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - x^{6}}{\operatorname{asin}{\left(x - 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{6}\right)}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(x - 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 6 x^{5} \sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 6 \sqrt{- x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 6 \sqrt{- x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$-6$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)