Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2 x - 3} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
-3 + 2*x
/ x \
lim |-----|
x->0+\1 + x/
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
$$\infty$$
-3 + 2*x
/ x \
lim |-----|
x->0-\1 + x/
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
$$-\infty$$
= (-3603463.21777951 + 150028.499747043j)
= (-3603463.21777951 + 150028.499747043j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1