Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} x^{3}}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{2}}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{3 x^{2}}{2}}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 e^{- x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)