Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
- Gráfico de la función y =:
- sin(5*x)/tan(10*x)
-
Expresiones idénticas
- sin(cinco *x)/tan(diez *x)
- seno de (5 multiplicar por x) dividir por tangente de (10 multiplicar por x)
- seno de (cinco multiplicar por x) dividir por tangente de (diez multiplicar por x)
- sin(5x)/tan(10x)
- sin5x/tan10x
- sin(5*x) dividir por tan(10*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(3*x)/(2*x)
- sin(3*x)/sin(5*x)
- sin(x)/x^2
- sin(3*x)/(5*x)
- sin(4*x)/tan(2*x)
- Tangente tan
- tan(5*x)/sin(3*x)
- tan(4*x)/x
- tan(x/2)^2/x^2
- tan(x)^2
- tan(5*x)/tan(3*x)
Límite de la función sin(5*x)/tan(10*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ sin(5*x)\ lim |---------| x->0+\tan(10*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
Limit(sin(5*x)/tan(10*x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = 10 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{10 \tan{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{2}$$
cambiamos
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right) = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v \cos{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right) \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(v \right)}} = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = 10 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{10 \tan{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{2}$$
cambiamos
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right) = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v \cos{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right) \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(v \right)}} = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(10 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(10 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ sin(5*x)\ lim |---------| x->0+\tan(10*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ sin(5*x)\ lim |---------| x->0-\tan(10*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico