Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- tan(x/ dos)^ dos /x^ dos
- tangente de (x dividir por 2) al cuadrado dividir por x al cuadrado
- tangente de (x dividir por dos) en el grado dos dividir por x en el grado dos
- tan(x/2)2/x2
- tanx/22/x2
- tan(x/2)²/x²
- tan(x/2) en el grado 2/x en el grado 2
- tanx/2^2/x^2
- tan(x dividir por 2)^2 dividir por x^2
-
Expresiones con funciones
- Tangente tan
- tan(pi*x/2)/log(1-x)
- tan(5*x)/sin(3*x)
- tan(m*x)/sin(n*x)
- tan(4*x)/x
- tan(3*x)/(7*x)
Límite de la función tan(x/2)^2/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2/x\\
|tan |-||
| \2/|
lim |-------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
Limit(tan(x/2)^2/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2/x\\
|tan |-||
| \2/|
lim |-------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
/ 2/x\\
|tan |-||
| \2/|
lim |-------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
= 0.25
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico