Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (-cos(x)^ cinco +cos(x))/x^ dos
- ( menos coseno de (x) en el grado 5 más coseno de (x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos coseno de (x) en el grado cinco más coseno de (x)) dividir por x en el grado dos
- (-cos(x)5+cos(x))/x2
- -cosx5+cosx/x2
- (-cos(x)⁵+cos(x))/x²
- (-cos(x) en el grado 5+cos(x))/x en el grado 2
- -cosx^5+cosx/x^2
- (-cos(x)^5+cos(x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-cos(x)^5-cos(x))/x^2
- (cos(x)^5+cos(x))/x^2
- (-cosx^5+cosx)/x^2
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)*tan(5*x)
- cos(x)^(sin(x)^(-2))
- cos(x)/(2*x)+5*x/(7+3*x)
- cos(x)^(1/(x*sin(x)))
- cos(2/x)
- Coseno cos
- cos(x)*tan(5*x)
- cos(x)^(sin(x)^(-2))
- cos(x)/(2*x)+5*x/(7+3*x)
- cos(x)^(1/(x*sin(x)))
- cos(2/x)
Límite de la función (-cos(x)^5+cos(x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5 \
|- cos (x) + cos(x)|
lim |------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-cos(x)^5 + cos(x))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 5 \
|- cos (x) + cos(x)|
lim |------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
/ 5 \
|- cos (x) + cos(x)|
lim |------------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
= 2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{5}{\left(1 \right)} + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{5}{\left(1 \right)} + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{5}{\left(1 \right)} + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{5}{\left(1 \right)} + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico