Sr Examen

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(-cos(x)^5+cos(x))/x^2
Límite de la función/ cos(x)/ (-cos(x)^5+cos(x))/x^2

Límite de la función (-cos(x)^5+cos(x))/x^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /     5            \
     |- cos (x) + cos(x)|
 lim |------------------|
x->0+|         2        |
     \        x         /
lim⁡x→0+(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) 
Limit((-cos(x)^5 + cos(x))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡4(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+((1−cos⁡4(x))cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(1−cos⁡4(x))ddxx2cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)}}}\right)
=
lim⁡x→0+(4sin⁡(x)cos⁡3(x)x2sin⁡(x)cos⁡2(x)+2xcos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)
=
lim⁡x→0+(4sin⁡(x)x2sin⁡(x)cos⁡2(x)+2xcos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)
=
lim⁡x→0+(4sin⁡(x)x2sin⁡(x)cos⁡2(x)+2xcos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}}\right)
=
22
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
2
22
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /     5            \
     |- cos (x) + cos(x)|
 lim |------------------|
x->0+|         2        |
     \        x         /
lim⁡x→0+(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) 
2
22 
= 2.0
     /     5            \
     |- cos (x) + cos(x)|
 lim |------------------|
x->0-|         2        |
     \        x         /
lim⁡x→0−(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) 
2
22 
= 2.0
= 2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)=2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 2
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)=2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 2
lim⁡x→∞(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)=−cos⁡5(1)+cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{5}{\left(1 \right)} + \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)=−cos⁡5(1)+cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{5}{\left(1 \right)} + \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−cos⁡5(x)+cos⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
2.0
2.0
Gráfico
Límite de la función (-cos(x)^5+cos(x))/x^2
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