Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
- Derivada de:
-
(x/(1+x))^x
- Gráfico de la función y =:
-
(x/(1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- (x/(uno +x))^x
- (x dividir por (1 más x)) en el grado x
- (x dividir por (uno más x)) en el grado x
- (x/(1+x))x
- x/1+xx
- x/1+x^x
- (x dividir por (1+x))^x
-
Expresiones semejantes
- (x/(1-x))^x
Límite de la función (x/(1+x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ x \
lim |-----|
x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
Limit((x/(1 + x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
x
/ x \
lim |-----|
x->0+\1 + x/
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
1
$$1$$
= 0.998137722506102
x
/ x \
lim |-----|
x->0-\1 + x/
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
1
$$1$$
= (1.00190918387906 - 0.000843557364068172j)
= (1.00190918387906 - 0.000843557364068172j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico