Sr Examen

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(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x
Límite de la función/ sqrt(1-x)/ sqrt(1+x)/ (sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x

Límite de la función (sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  _______     _______\
     |\/ 1 + x  - \/ 1 - x |
 lim |---------------------|
x->0+\          x          /
lim⁡x→0+(−1−x+x+1x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) 
Limit((sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(−1−x+x+1x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)
Multiplicamos numerador y denominador por
1−x+x+1\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}
obtendremos
−1−x+x+1x(1−x+x+1)1−x+x+1\frac{\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x} \left(\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}
=
21−x+x+1\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}
=
21−x+x+1\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}
Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(−1−x+x+1x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+(21−x+x+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}\right)
=
11
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(−1−x+x+1)=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(−1−x+x+1x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−1−x+x+1)ddxx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)
=
lim⁡x→0+(12x+1+121−x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}\right)
=
lim⁡x→0+(12x+1+121−x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}\right)
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.81.2
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(−1−x+x+1x)=1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−1−x+x+1x)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 1
lim⁡x→∞(−1−x+x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(−1−x+x+1x)=2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = \sqrt{2}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−1−x+x+1x)=2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = \sqrt{2}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−1−x+x+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /  _______     _______\
     |\/ 1 + x  - \/ 1 - x |
 lim |---------------------|
x->0+\          x          /
lim⁡x→0+(−1−x+x+1x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) 
1
11 
= 1.0
     /  _______     _______\
     |\/ 1 + x  - \/ 1 - x |
 lim |---------------------|
x->0-\          x          /
lim⁡x→0−(−1−x+x+1x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función (sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x
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