Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}^{3}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}^{3}{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(2 x \right)}}{\operatorname{asin}^{3}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{3}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{3}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{1 - 9 x^{2}} \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{3 \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{3}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \sqrt{1 - 9 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{9 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{9 \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{4 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{9}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{27 \sqrt{1 - 4 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{8}{27}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{8}{27}$$
=
$$\frac{8}{27}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)