Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Expresiones idénticas
- x*log(uno + uno /(dos +x))/log(dos +x)
- x multiplicar por logaritmo de (1 más 1 dividir por (2 más x)) dividir por logaritmo de (2 más x)
- x multiplicar por logaritmo de (uno más uno dividir por (dos más x)) dividir por logaritmo de (dos más x)
- xlog(1+1/(2+x))/log(2+x)
- xlog1+1/2+x/log2+x
- x*log(1+1 dividir por (2+x)) dividir por log(2+x)
-
Expresiones semejantes
- x*log(1-1/(2+x))/log(2+x)
- x*log(1+1/(2+x))/log(2-x)
- x*log(1+1/(2-x))/log(2+x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1-x^2)/x
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1-x^2)/x
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
Límite de la función x*log(1+1/(2+x))/log(2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 1 \\
|x*log|1 + -----||
| \ 2 + x/|
lim |----------------|
x->oo\ log(2 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
Limit((x*log(1 + 1/(2 + x)))/log(2 + x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x + 2} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(\frac{x + 3}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{\log{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x + 2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{x \log{\left(x + 2 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{6}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{2}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{x \log{\left(x + 2 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{6}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{2}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x + 2} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(\frac{x + 3}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{\log{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x + 2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{x \log{\left(x + 2 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{6}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{2}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{x \log{\left(x + 2 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} + \frac{6}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 7 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 16 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 12 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}} - \frac{2}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = \frac{- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = \frac{- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = \frac{- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = \frac{- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(1 + \frac{1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo