Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)