Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 5 x + 6\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x - \frac{9}{x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{6 x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(x \left(x - 5\right) + 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 5 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - \frac{9}{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x - 5}{1 + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x - 5}{1 + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)