Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(1 - \sqrt[3]{x - 2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt[3]{x - 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{3 \pi \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{3 \pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{3 \pi}{2}\right)$$
=
$$- \frac{3 \pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)