Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+x)^3+(2+x)^3)/((4+x)^3+(5+x)^3)
-
Límite de (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))^2/x^2
-
Límite de (-log(1+x)+log(-1+x^2))/(-1+(-1+x)^(1/3))
-
Límite de -1+cos(x)
-
Expresiones idénticas
- cos(pi*x/ dos)/(uno -(- dos +x)^(uno / tres))
- coseno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2) dividir por (1 menos ( menos 2 más x) en el grado (1 dividir por 3))
- coseno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos) dividir por (uno menos ( menos dos más x) en el grado (uno dividir por tres))
- cos(pi*x/2)/(1-(-2+x)(1/3))
- cospi*x/2/1--2+x1/3
- cos(pix/2)/(1-(-2+x)^(1/3))
- cos(pix/2)/(1-(-2+x)(1/3))
- cospix/2/1--2+x1/3
- cospix/2/1--2+x^1/3
- cos(pi*x dividir por 2) dividir por (1-(-2+x)^(1 dividir por 3))
-
Expresiones semejantes
- cos(pi*x/2)/(1+(-2+x)^(1/3))
- cos(pi*x/2)/(1-(-2-x)^(1/3))
- cos(pi*x/2)/(1-(2+x)^(1/3))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/(-3+sin(x))
- cos(2*x)/(2+5*x)
- cos(-1/2+x/2)/(1+cos(pi*x))
- cos(4*x)^3/(x*sin(7*x))
- cos(x)^cot(x)/sin(4*x)
Límite de la función cos(pi*x/2)/(1-(-2+x)^(1/3))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /pi*x\ \
| cos|----| |
| \ 2 / |
lim |--------------|
x->3+| 3 ________|
\1 - \/ -2 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
Limit(cos((pi*x)/2)/(1 - (-2 + x)^(1/3)), x, 3)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(1 - \sqrt[3]{x - 2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt[3]{x - 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{3 \pi \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{3 \pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{3 \pi}{2}\right)$$
=
$$- \frac{3 \pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(1 - \sqrt[3]{x - 2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt[3]{x - 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{3 \pi \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{3 \pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{3 \pi}{2}\right)$$
=
$$- \frac{3 \pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /pi*x\ \
| cos|----| |
| \ 2 / |
lim |--------------|
x->3+| 3 ________|
\1 - \/ -2 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
-3*pi ----- 2
$$- \frac{3 \pi}{2}$$
= -4.71238898038469
/ /pi*x\ \
| cos|----| |
| \ 2 / |
lim |--------------|
x->3-| 3 ________|
\1 - \/ -2 + x /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right)$$
-3*pi ----- 2
$$- \frac{3 \pi}{2}$$
= -4.71238898038469
= -4.71238898038469
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = - \frac{3 \pi}{2}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = - \frac{1}{-1 + \sqrt[3]{-2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = - \frac{1}{-1 + \sqrt[3]{-2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = - \frac{1}{-1 + \sqrt[3]{-2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = - \frac{1}{-1 + \sqrt[3]{-2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{1 - \sqrt[3]{x - 2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo