Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+x^2)^(2/x)
-
Límite de (1+x)^(4/x)
-
Límite de (1-x/2)^x
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2*sin(x)^2)
-
Expresiones idénticas
- log(dos *x^ dos +x*log(uno +exp(x)))/log(x)
- logaritmo de (2 multiplicar por x al cuadrado más x multiplicar por logaritmo de (1 más exponente de (x))) dividir por logaritmo de (x)
- logaritmo de (dos multiplicar por x en el grado dos más x multiplicar por logaritmo de (uno más exponente de (x))) dividir por logaritmo de (x)
- log(2*x2+x*log(1+exp(x)))/log(x)
- log2*x2+x*log1+expx/logx
- log(2*x²+x*log(1+exp(x)))/log(x)
- log(2*x en el grado 2+x*log(1+exp(x)))/log(x)
- log(2x^2+xlog(1+exp(x)))/log(x)
- log(2x2+xlog(1+exp(x)))/log(x)
- log2x2+xlog1+expx/logx
- log2x^2+xlog1+expx/logx
- log(2*x^2+x*log(1+exp(x))) dividir por log(x)
-
Expresiones semejantes
- log(2*x^2-x*log(1+exp(x)))/log(x)
- log(2*x^2+x*log(1-exp(x)))/log(x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(10*n)^2/log(n^10)^2
- log(x)^10/(1+x^2)
- log(x)*sin(3*x)/(-pi+6*x)^2
- log(2+cos(pi*x/a))/(-1+a^(a^2/x^2-a/x)-a^(a/x))
- log(1+x^2)/2-2*atan(x)
- Logaritmo log
- log(10*n)^2/log(n^10)^2
- log(x)^10/(1+x^2)
- log(x)*sin(3*x)/(-pi+6*x)^2
- log(2+cos(pi*x/a))/(-1+a^(a^2/x^2-a/x)-a^(a/x))
- log(1+x^2)/2-2*atan(x)
- Logaritmo log
- log(10*n)^2/log(n^10)^2
- log(x)^10/(1+x^2)
- log(x)*sin(3*x)/(-pi+6*x)^2
- log(2+cos(pi*x/a))/(-1+a^(a^2/x^2-a/x)-a^(a/x))
- log(1+x^2)/2-2*atan(x)
Límite de la función log(2*x^2+x*log(1+exp(x)))/log(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 2 / x\\\
|log\2*x + x*log\1 + e //|
lim |-------------------------|
x->oo\ log(x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
Limit(log(2*x^2 + x*log(1 + exp(x)))/log(x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \left(2 x + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right) \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2 x + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x e^{2 x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1} + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + 4 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 + \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x e^{2 x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1} + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + 4 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 + \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \left(2 x + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right) \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2 x + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x e^{2 x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1} + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + 4 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 + \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x e^{2 x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1} + \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1} + 4 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 + \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo