Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno + tres /x)^(uno + tres *x)
- (1 más 3 dividir por x) en el grado (1 más 3 multiplicar por x)
- (uno más tres dividir por x) en el grado (uno más tres multiplicar por x)
- (1+3/x)(1+3*x)
- 1+3/x1+3*x
- (1+3/x)^(1+3x)
- (1+3/x)(1+3x)
- 1+3/x1+3x
- 1+3/x^1+3x
- (1+3 dividir por x)^(1+3*x)
-
Expresiones semejantes
- (1+3/x)^(1-3*x)
- (1-3/x)^(1+3*x)
Límite de la función (1+3/x)^(1+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 3*x
/ 3\
lim |1 + -|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1}$$
Limit((1 + 3/x)^(1 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{9}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{9} = e^{9}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = e^{9}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{9}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{9} = e^{9}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = e^{9}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = e^{9}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = 256$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = 256$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = e^{9}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = 256$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = 256$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{3 x + 1} = e^{9}$$
Más detalles con x→-oo