Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (cinco +x^ dos + dos *x^ tres)/(uno +x^ tres + cinco *x)
- (5 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x al cubo ) dividir por (1 más x al cubo más 5 multiplicar por x)
- (cinco más x en el grado dos más dos multiplicar por x en el grado tres) dividir por (uno más x en el grado tres más cinco multiplicar por x)
- (5+x2+2*x3)/(1+x3+5*x)
- 5+x2+2*x3/1+x3+5*x
- (5+x²+2*x³)/(1+x³+5*x)
- (5+x en el grado 2+2*x en el grado 3)/(1+x en el grado 3+5*x)
- (5+x^2+2x^3)/(1+x^3+5x)
- (5+x2+2x3)/(1+x3+5x)
- 5+x2+2x3/1+x3+5x
- 5+x^2+2x^3/1+x^3+5x
- (5+x^2+2*x^3) dividir por (1+x^3+5*x)
-
Expresiones semejantes
- (5+x^2+2*x^3)/(1+x^3-5*x)
- (5+x^2-2*x^3)/(1+x^3+5*x)
- (5-x^2+2*x^3)/(1+x^3+5*x)
- (5+x^2+2*x^3)/(1-x^3+5*x)
Límite de la función (5+x^2+2*x^3)/(1+x^3+5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 3\
|5 + x + 2*x |
lim |-------------|
x->oo| 3 |
\ 1 + x + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
Limit((5 + x^2 + 2*x^3)/(1 + x^3 + 5*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{1 + \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{1 + \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{3} + u + 2}{u^{3} + 5 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{3} + 2}{0^{3} + 5 \cdot 0^{2} + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{1 + \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{1 + \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{3} + u + 2}{u^{3} + 5 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{3} + 2}{0^{3} + 5 \cdot 0^{2} + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} + x^{2} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 5 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + x^{2} + 5}{x^{3} + 5 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} + x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 5 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + 2}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} + x^{2} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 5 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + x^{2} + 5}{x^{3} + 5 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} + x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 5 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + 2}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 5$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 5$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{8}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{8}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 5$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 5$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{8}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{8}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}{5 x + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico