Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (- tres +sqrt(- tres + cuatro *x))/(- nueve +x^ dos)
- ( menos 3 más raíz cuadrada de ( menos 3 más 4 multiplicar por x)) dividir por ( menos 9 más x al cuadrado )
- ( menos tres más raíz cuadrada de ( menos tres más cuatro multiplicar por x)) dividir por ( menos nueve más x en el grado dos)
- (-3+√(-3+4*x))/(-9+x^2)
- (-3+sqrt(-3+4*x))/(-9+x2)
- -3+sqrt-3+4*x/-9+x2
- (-3+sqrt(-3+4*x))/(-9+x²)
- (-3+sqrt(-3+4*x))/(-9+x en el grado 2)
- (-3+sqrt(-3+4x))/(-9+x^2)
- (-3+sqrt(-3+4x))/(-9+x2)
- -3+sqrt-3+4x/-9+x2
- -3+sqrt-3+4x/-9+x^2
- (-3+sqrt(-3+4*x)) dividir por (-9+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (-3+sqrt(-3+4*x))/(-9-x^2)
- (-3+sqrt(3+4*x))/(-9+x^2)
- (-3+sqrt(-3+4*x))/(9+x^2)
- (-3-sqrt(-3+4*x))/(-9+x^2)
- (3+sqrt(-3+4*x))/(-9+x^2)
- (-3+sqrt(-3-4*x))/(-9+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
Límite de la función (-3+sqrt(-3+4*x))/(-9+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________\
|-3 + \/ -3 + 4*x |
lim |-----------------|
x->3+| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
Limit((-3 + sqrt(-3 + 4*x))/(-9 + x^2), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{4 x - 3} + 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9} \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}{\sqrt{4 x - 3} + 3}$$
=
$$\frac{4 x - 12}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right) \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}$$
=
$$\frac{4}{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4}{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{9}$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{4 x - 3} + 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9} \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}{\sqrt{4 x - 3} + 3}$$
=
$$\frac{4 x - 12}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right) \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}$$
=
$$\frac{4}{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4}{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{4 x - 3} + 3\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{9}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{4 x - 3} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{4 x - 3} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{4 x - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{9}$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{9}$$
=
$$\frac{1}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{4 x - 3} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{4 x - 3} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{4 x - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{9}$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{9}$$
=
$$\frac{1}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ __________\
|-3 + \/ -3 + 4*x |
lim |-----------------|
x->3+| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
1/9
$$\frac{1}{9}$$
= 0.111111111111111
/ __________\
|-3 + \/ -3 + 4*x |
lim |-----------------|
x->3-| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right)$$
1/9
$$\frac{1}{9}$$
= 0.111111111111111
= 0.111111111111111
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{9}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{9}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{9}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 x - 3} - 3}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico