Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- cinco ^(uno /x)+ dos *x^ dos /(tres +x^ dos)
- 5 en el grado (1 dividir por x) más 2 multiplicar por x al cuadrado dividir por (3 más x al cuadrado )
- cinco en el grado (uno dividir por x) más dos multiplicar por x en el grado dos dividir por (tres más x en el grado dos)
- 5(1/x)+2*x2/(3+x2)
- 51/x+2*x2/3+x2
- 5^(1/x)+2*x²/(3+x²)
- 5 en el grado (1/x)+2*x en el grado 2/(3+x en el grado 2)
- 5^(1/x)+2x^2/(3+x^2)
- 5(1/x)+2x2/(3+x2)
- 51/x+2x2/3+x2
- 5^1/x+2x^2/3+x^2
- 5^(1 dividir por x)+2*x^2 dividir por (3+x^2)
-
Expresiones semejantes
- 5^(1/x)+2*x^2/(3-x^2)
- 5^(1/x)-2*x^2/(3+x^2)
Límite de la función 5^(1/x)+2*x^2/(3+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|x ___ 2*x |
lim |\/ 5 + ------|
x->oo| 2|
\ 3 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right)$$
Limit(5^(1/x) + (2*x^2)/(3 + x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} x^{2} + 3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} + 2 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{\frac{1}{x}} \left(x^{2} + 3\right) + 2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{\frac{1}{x}} x^{2} + 3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} + 2 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{x}} x - 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{2}} + 4 x}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 \cdot 5^{\frac{1}{x}} x - 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{2}} + 4 x\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} - \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x} + \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{3}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{4}} + 2\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} - \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x} + \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{3}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{4}} + 2\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} x^{2} + 3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} + 2 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{\frac{1}{x}} \left(x^{2} + 3\right) + 2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{\frac{1}{x}} x^{2} + 3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} + 2 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{x}} x - 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{2}} + 4 x}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 \cdot 5^{\frac{1}{x}} x - 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{2}} + 4 x\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} - \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x} + \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{3}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{4}} + 2\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} - \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x} + \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{3}} + \frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}^{2}}{2 x^{4}} + 2\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5^{\frac{1}{x}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico