Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno -x^ dos)/(uno +x+ tres *x^ dos)
- (1 menos x al cuadrado ) dividir por (1 más x más 3 multiplicar por x al cuadrado )
- (uno menos x en el grado dos) dividir por (uno más x más tres multiplicar por x en el grado dos)
- (1-x2)/(1+x+3*x2)
- 1-x2/1+x+3*x2
- (1-x²)/(1+x+3*x²)
- (1-x en el grado 2)/(1+x+3*x en el grado 2)
- (1-x^2)/(1+x+3x^2)
- (1-x2)/(1+x+3x2)
- 1-x2/1+x+3x2
- 1-x^2/1+x+3x^2
- (1-x^2) dividir por (1+x+3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1-x^2)/(1-x+3*x^2)
- (1+x^2)/(1+x+3*x^2)
- (1-x^2)/(1+x-3*x^2)
Límite de la función (1-x^2)/(1+x+3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 1 - x |
lim |------------|
x->oo| 2|
\1 + x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit((1 - x^2)/(1 + x + 3*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - 1}{u^{2} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 0^{2}}{0^{2} + 3} = - \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - 1}{u^{2} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 0^{2}}{0^{2} + 3} = - \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - x^{2}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{6 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - x^{2}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{6 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - x^{2}}{3 x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico